数值分析算法 MATLAB 实践 线性方程组 SOR迭代法

% 逐次超松驰迭代法(successive over relaxation method)迭代法
% function [x,t,it,w] = SORFunc(A,b,I,eps,w)
% A: 系数矩阵 b: 载荷矩阵 I: 最大迭代次数
% w: 松弛因子(w=1 时即为 Gauss-Seidel 迭代法)
% x: 解矩阵% t: 时间
% it: 迭代次数% w: 松弛因子% 迭代初值默认为 0
A1 = [8 -3 2; 4 11 -1; 6 3 12]; b1 = [20; 33; 36];
w=1.2;%松弛因子
it_max = 1000;eps=1e-6;
[x6,t6,k6_cnt,w] = SORFunc(A1,b1,it_max,eps,w);
disp('迭代次数:k6_cnt=');
disp(k6_cnt)
disp(['方程组的解：x6 = ']);
disp(x6)

%% function [x,n,flag]=SOR(A,b,eps,W,it_max)
%sor函数为用松弛迭代法求解线性方程组
%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组的常数向量
%eps为精度要求 %W为超弛因子 %max1为最大迭代次数
%x为线性方程组的解%n为迭代次数
%flag为指标变量，flag='OK!'表示迭代收敛达到指标要求%flag='fail!'表示迭代失败
A2 = [8 -3 2; 4 11 -1; 6 3 12]; b2 = [20; 33; 36];
W=1.2;%松弛因子
it_max = 1000;eps=1e-6;%最大迭代次数
[x7,k7_cnt,flag]=SOR(A2,b2,eps,W,it_max);
disp('迭代次数:k7_cnt=');
disp(k7_cnt)
disp(['方程组的解：x7 = ']);
disp(x7)

%% function [x, k] = SORFunmethod(A, b, x0, MaxIters, err, w)
%  输入：A：系数矩阵   b：常数矩阵；  x0：初始解；
%  MaxIters：最大迭代次数；
%  err：精度阈值；  w：松弛因子； 输出： x：近似解；  k：迭代次数；
x0 = [0;0;0];
%调用SOR超松弛迭代法求解
A3 = [8 -3 2; 4 11 -1; 6 3 12]; b3 = [20; 33; 36];
it_max = 1000; eps=1e-6;
%w松弛因子 w>1 超松弛迭代法 w=1 高斯-赛德尔迭代 w<1 低松弛迭代法
w0 = 0.6;  % w1 超松弛迭代法
w2 = 1.9; % w>1 超松弛迭代法
[x8_0, k8_cnt0] = SORFunmethod(A3, b3, x0, it_max, eps, w0);
[x8_1, k8_cnt1] = SORFunmethod(A3, b3, x0, it_max, eps, w1);
[x8_2, k8_cnt2] = SORFunmethod(A3, b3, x0, it_max, eps, w2);
disp('迭代次数:k8_cnt0=');
disp(k8_cnt0)
disp(['方程组的解：x8_0 = ']);
disp(x8_0)
disp('迭代次数:k8_cnt1=');
disp(k8_cnt1)
disp(['方程组的解：x8_1 = ']);
disp(x8_1)
disp('迭代次数:k8_cnt2=');
disp(k8_cnt2)
disp(['方程组的解：x8_2 = ']);
disp(x8_2)

function [x,n,flag]=SOR(A,b,eps,W,it_max)
%sor函数为用松弛迭代法求解线性方程组
%A为线性方程组的系数矩阵%b为线性方程组的常数向量
%eps为精度要求 %W为超弛因子 %max1为最大迭代次数
%x为线性方程组的解%n为迭代次数
%flag为指标变量，flag='OK!'表示迭代收敛达到指标要求%flag='fail!'表示迭代失败
    if nargin<5
        it_max=10000;
    end
    if nargin<4
        W=1;
    end
    if nargin<3
        eps=1e-11;
    end
    k=length(A);
    n=0;
    x=zeros(k,1);
    y=zeros(k,1);
    flag='OK!';
    while (1)
        y=x;
        for i=1:k
            z=b(i);
            for j=1:k
                if j~=i
                    z=z-A(i,j)*x(j);
                end
            end
            if abs(A(i,i))<1e-10 | n==it_max
                flag='fail!';
                return;
            end
            z=z/A(i,i);
            x(i)=(1-W)*x(i)+W*z;
        end
        if norm(y-x,inf)<eps
            break;
        end
        n=n+1;
    end
end

function [x,t,it,w] = SORFunc(A,b,I,eps,w)
% 逐次超松驰迭代法(successive over relaxation method)迭代法
% A: 系数矩阵 b: 载荷矩阵 I: 最大迭代次数
% w: 松弛因子(w=1 时即为 Gauss-Seidel 迭代法)
% x: 解矩阵% t: 时间
% it: 迭代次数% w: 松弛因子% 迭代初值默认为 0
tic%开始时间
    [n,~] = size(A);
    x = zeros(n,1);
    D = diag(diag(A)); %求 A 的对角矩阵
    L = -tril(A,-1); %求 A 的下三角矩阵,不带对角线
    U = -triu(A,1); %求 A 的上三角矩阵
    w_opt = 2/(1+sqrt(1-(vrho(D\(L+U)))^2)); % 最佳松弛因子
    if nargin < 4
        eps = 1e-6;
        w = w_opt;
    end
    if nargin < 5
        w = w_opt;
    end
    Lw = (D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
    f = w*((D-w*L)\b);
    x_exact = A\b;
    it = 1;
    for k = 1:I-1
        x = Lw*x+f;
        if norm(x-x_exact)>eps
        it = it+1;
        end
    end
    t = toc;%结束时间
end

function [x, k] = SORFunmethod(A, b, x0, MaxIters, err, w)
%  函数功能：对超松弛迭代法求解线性方程组；
% function [x, k] = SORFunmethod(A, b, x0, MaxIters, err, w)
%  输入：A：系数矩阵   b：常数矩阵；  x0：初始解；
%  MaxIters：最大迭代次数；
%  err：精度阈值；  w：松弛因子； 输出： x：近似解；  k：迭代次数；
  n = length(x0); 
  x1 = x0;  
  x2 = zeros(n, 1); 
  x3 = zeros(n, 1);
  r = max(abs(b - A*x1));
  k = 0;
  while r > err
    for i = 1:n
        sum = 0;
        for j = 1:n
            if j > i
                sum = sum + A(i, j) * x1(j);
            elseif j < i
                sum = sum + A(i, j) * x2(j);
            end
        end
        x2(i) = (1 - w)*x1(i) + w*(b(i) - sum) / (A(i, i) + eps);
    end
    for i = n:-1:1
        sum = 0;
        for j = 1:n
            if j > i
                sum = sum + A(i, j) * x3(j);
            elseif j < i
                sum = sum + A(i, j) * x2(j);
            end
        end
        x3(i) = (1 - w) * x2(i) + w * (b(i) - sum) / A(i, i);
    end
    r = max(abs(x3 - x1));
    x1 = x3;
    k = k + 1;
    if k > MaxIters
        x = [];
        return;
    end
  end
  x = x1;       %最终输出结果
end