雅可比迭代法保证收敛的条件是矩阵A(Ax=b)为严格的行对角占优矩阵,对于每一行,对角线上的元素之绝对值大于其余元素绝对值的和。需要说明的是:即使不满足此条件,雅可比法有时仍可以收敛。
%% 雅可比迭代法 [x,k,index] = Jacobimethod(A,b,ep)% A为方程组的系数矩阵;% b为方程组的右端项;% ep为精度要求,缺省值为1e-5;% it_max为最大迭代次数,缺省值为100;% x为方程组的解;% k为迭代次数;% index为指标变量,index=0表示迭代失败,index=1表示收敛到指定要求 A = [10 3 1; 2 -10 3 ;1 3 10];b = [14 -5 14 ]'; %b = [14; -5; 14 ];eps = 0.005;[x_0,k0_cnt,index] = Jacobimethod(A,b,eps);disp('迭代次数:k0_cnt=')disp(k0_cnt)disp(['方程组的解:x_0 = '])disp(x_0)%% 求线性方程组的Jacobi迭代法,调用格式为[x, k] = JacobiFunc(A,b,x0,eps,it_max)% 其中, A 为线性方程组的系数矩阵,b 为常数项,eps 为精度要求,默认为1e-6,x0迭代初始值% it_max 为最大迭代次数,默认为1000% x 为线性方程组的解,k迭代次数 x0=[0,0,0]';%[x1;x2;x3]列向量 it_max = 1000;eps=1e-6;[x1, k1_cnt] = JacobiFunc(A,b,x0,eps,it_max);disp('迭代次数:k1_cnt=');disp(k1_cnt)disp(['方程组的解:x1 = ']);disp(x1) %% [x,k]=JacobiFunmethod(A,b,x0,N,emg) % A:线性方程组左端矩阵,b:线性方程组右端向量,x0:迭代初值 % N:迭代次数上界,若迭代次数大于n,则迭代失败, emg:精度指标 % k:迭代次数, % x:用迭代法求得的线性方程组的近似解 x0=[0,0,0]';%[x1;x2;x3]列向量 it_max = 1000;eps=1e-6;[x2,k2_cnt]=JacobiFunmethod(A,b,x0,it_max,eps);disp('迭代次数:k2_cnt=');disp(k2_cnt)disp(['方程组的解:x2 = ']);disp(x2)
function [x,k] = JacobiFunc(A,b,x0,eps,it_max) % 求线性方程组的Jacobi迭代法,调用格式为[x, k] = JacobiFunc(A,b,x0,eps,it_max) % 其中, A 为线性方程组的系数矩阵,b 为常数项,eps 为精度要求,默认为1e-6,x0迭代初始值 % it_max 为最大迭代次数,默认为200 % x 为线性方程组的解,k迭代次数 if nargin == 3 eps = 1.0e-6; M = 200; elseif nargin=eps x0 = x; x = B*x0+f; k = k+1; if(k>=M) disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!'); return; end end end
function [ x,k,index]=Jacobimethod(A,b,ep,it_max) % 求线性方程组的雅可比迭代法,其中, % A为方程组的系数矩阵; % b为方程组的右端项; % ep为精度要求,缺省值为1e-5; % it_max为最大迭代次数,缺省值为100; % x为方程组的解; % k为迭代次数; % index为指标变量,index=0表示迭代失败,index=1表示收敛到指定要求, [n,m] = size(A);nb = length(b); %当方程组行与列的维数不相等时,停止计算,并输出出错信息。 if n ~=m error('The rows and columns of matrix A must be equal! '); return; end % 当方程组与右端项的维数不匹配时,停止计算,并输出出错信息。 if m~=nb error ('The columns of A must be equal the length of b! '); return; end if nargin<4 it_max =100; end if nargin<3 ep = 1e-5; end k=0;x = zeros (n,1);y=zeros (n,1);index=1; while 1 for i=1 :n y(i) =b(i) ; for j=1:n if j~=i y(i) =y(i) -A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i))<1e-10 &&k==it_max % abs绝对值函数 index =0 ;return; end y(i) =y(i)/A(i,i); end k = k +1; if norm(y-x,inf) <ep break; end x = y; end
function [x,k]=JacobiFunmethod(A,b,x0,N,emg) % A:线性方程组左端矩阵,b:线性方程组右端向量,x0:迭代初值 % N:迭代次数上界,若迭代次数大于n,则迭代失败, emg:精度指标 % k:迭代次数, % x:用迭代法求得的线性方程组的近似解 n=length(A); x=zeros(n,1); %设置变量 X=zeros(n,1); % X x=x0; k=0; r=max(abs(b-A*x)); while (r>emg) % 迭代循环过程 for i=1:n sum=0; for j=1:n if i~=j sum=sum+A(i,j)*x(j); end end X(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end r=max(abs(X-x)); x=X; k=k+1; if k>N disp('迭代失败,返回'); return; end end
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