评价模型-TOPSIS法(优劣解距离法)

1.1 概念

TOPSIS 法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行

1.2 适用范围

评价对象得分，且各个指标值已知。(下图案例)

评价个体与评价指标之间的关系

知识点概括

TOPSIS法建模步骤

**1. 将原始数据矩阵正向化。也就是将那些极小型指标，中间型指标，区间型指标对应的数据全部化成极大型指标，方便统一计算和处理。

1. 将正向化后的矩阵标准化。也就是通过标准化消除量纲的影响。
2. 计算每个方案各自与最优解和最劣解的距离
3. 根据最优解与最劣解计算得分并排序**
   

原始矩阵正向化

极小型 to 极大型

中间型 to 极大型

区间型 to 极大型

正向化矩阵标准化

%% 对正向化后的矩阵进行标准化
%X为正向化矩阵 标准化矩阵Z
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

计算各评价指标与最优及最劣向量之间的差距

评价对象与最优方案的接近程度

%% 计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分  标准化矩阵Z
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分 
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)    %归一化得分
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

sort排序函数

% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend')
% 排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
%   sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2

Topsis与层次评价法AHP

1. Topsis法避免了数据的主观性，不需要目标函数，不用通过检验，而且能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度，并且对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便。但是该算法需要每个指标的数据，而对应的量化指标选取会有一定难度，同时不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够去很好刻画指标的影响力度.
2. 层次分析法的判断矩阵是通过“专家”评分获取的，主观性强，且n不宜过大。
优劣解距离法的指标评分则是现成的，且对较大的m与n同样适用。相较于层次分析法两两比较而言，优劣解距离法不易于发生混淆。

案例

题目：评价下表中20条河流的水质情况
注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超
过20或低于10均不好。

clear;clc
%%  第一步：导入数据data
load data_water_quality.mat

%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、4三列需要处理，那么你需要输入[2,3,4]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第4列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); 
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')


%归一化结果分数  从大到小
sorted_S =
    0.0819
    0.0713
    0.0633
    0.0592
    0.0585
    0.0551
    0.0531
    0.0519
    0.0505
    0.0498
    0.0480
    0.0480
    0.0469
    0.0461
    0.0440
    0.0428
    0.0373
    0.0323
    0.0301
    0.0299

index =
    16
     3
     1
     5
    15
     7
    14
    20
    13
     9
     4
    10
    18
    11
     8
     6
    12
    19
     2
    17